شواهد فراوان نشان می‌دهد که دانش‌آموزان، مراحل یک رویه یا روش حل یک مسئله را از روی مثال‌های حل شده استنتاج می‌کنند و سپس آن را در موارد دیگر، تخصیص یا تعمیم می‌دهند. این نوع تعمیم یا تخصیص، یکی از روش های یادگیری ریاضی است.
۲-۲۰ ماهیت قیاسی تفکر ریاضی
برای حل یک مسئله با بهره گرفتن از تفکر قیاسی، دانش آموز در مواجه شدن با یک مسئله جدید (مسئله هدف)، به دنبال مسئله ای مشابه با آن می‌گردد (مسئله منبع)، و سپس بین اجزای مسئله هدف و مسئله ی منبع، تناظر برقرار می‌کند تا بر اساس راه حل مسئله منبع، مسئله هدف را حل کند. در این فرایند، در واقع طرحواره‌ای شکل می‌گیرد که ویژگی‌های اساسی و رویه حل مسئله را در بر می‌گیرد و این طرحواره در حل مسائل مشابه، به کار می‌آید.
یکی از دلایلی که حل مسئله با کمک قیاس به شکست منجر می شود این است که فرد مسئله حل کن، تنها با بهره گرفتن از شباهت سطحی، مسئله منبع را انتخاب می‌کند.
دلیل دیگر این است که با وجود این که مسئله حل کن، مسئله منبع را به درستی انتخاب کرده‌است، نتواند میان اجزای مسئله هدف یا مسئله منبع، تناظر درستی برقرار کند تا از راه حل مسئله ی منبع، به حل مسئله هدف دست یابد.
۲-۲۱ تفکر طرحواره مدار
تحقیقات فراوان نشان می‌دهند که دانش‌آموزان ابتدایی برای حل مسائل کلامی، از طرحواره هایی که برای انواع خاصی از مسئله ها ساخته اند، استفاده می‌کنند. حتی آموزش معلمان ابتدایی و گاهی دوره های بالاتر به گونه‌ای است که سعی می‌کنند برای هر یک از انواع مسائل، سرنخ هایی را برای دانش‌آموزان، مشخص کنند. مثلا به دانش‌آموزان یاد داده می شود که “با” به معنی جمع است.
یک دسته از مسائل، نیاز به یک طرحواره‌ی جز-کل دارند که دانش‌آموز با تشخیص جز و کل در آن، بتواند آن را حل کند. کلمات کلیدی مانند “در ابتدا”، “روی هم” و “بیشتر” در بازیابی طرحواره مناسب، به دانش‌آموز کمک می‌کند. لیکن زمانی که چنین طرحواره‌هایی به صورت طوطی وار شکل گرفته باشد، استفاده انعطاف‌ناپذیر از آن ها یا استفاده از یک طرحواره‌ی درست در یک زمینه‌ی نادرست، موجب بروز خطای منطقی می‌گردد.
۲-۲۲ تفکر همبسته
یکی از انواع طرحواره‌ها که دانش‌آموزان می‌سازند، “طرحواره‌ی عملگر” است. این طرحواره، توسط دانش‌آموزان و ضمن دیدن مثال های کتاب های درسی یا مثال های معلم ضمن تدریس و در اثر وجوه همبستگی میان چند جنبه خاص در آن مسائل و مثال ها با اعمالی که برای حل آن ها استفاده می شود، فتح می‌شوند و مورد استفاده قرار می‌گیرند. به عنوان مثال، در حل مسائل هندسه، مسائلی که از راه (ض ز ض) حل می‌شوند، همواره حاوی اطلاعاتی در مورد دو ضلع و یک زاویه از مثلث هستند.
این نوع طرحواره‌ها، سازوکارهایی قوی برای حل مسائل هستند. لیکن اگر در مثال‌هایی که در یک متن آموزشی نوشته شده یا مثال‌هایی که معلم ضمن تدریس ارائه و حل می‌کند، جنبه‌های نامربوطی نیز دائم تکرار شوند به طوری که با آن نوع از مسائل، همبستگی کاذب زیادی به وجود آورند، دانش‌آموزی که تفکر همبسته دارد، این همبستگی کاذب را به صورت یک قانون منتزع می‌کند و به کار می‌برد و در عمل موجب خطا می‌شود.
۲-۲۳ استدلال و اثبات
استدلال و اثبات، از جمله مهارت‌هایی هستند که به طور کلی در زندگی روزمره و به طور خاص در آموزش ریاضی از جایگاه خاصی برخوردار می‌باشند. اثبات ریاضی، دنباله ای منطقی از استدلال هایی است که با یک مجموعه از داده های معین و مشخص (مانند اصول موضوعه، تعاریف، مفروضات و نتایج ثابت شده ی قبلی) شروع می‌شود و با بهره گرفتن از مراحل منطقی به یک نتیجه معتبر می‌رسد (بایازیت، ۲۰۰۹). اثبات یک فعالیت پیچیده ریاضی است که بررسی ماهیت آن، به عوامل زیادی از جمله عوامل شناختی، ریاضی، تاریخی، معرفت شناسی و اجتماعی بستگی دارد (وبر، ۲۰۰۵). رأس (۲۰۰۰) بر این باور است استدلال اساس ریاضیات را تشکیل می‌دهد و بیان می‌دارد ” در حالی که علم توسط مشاهده تأیید می‌شود، ریاضیات توسط استدلال منطقی مورد تأیید قرار می‌گیرد” و در ادامه می‌گوید ” اگر توانایی استدلال در دانش‌آموزان رشد نکرده باشد، ریاضیات برای او به مجموعه‌ای از رویه ها و مثال‌های تکرای فاقد تفکر اینکه چرا چنین هستند، تبدیل می‌شود”. شونفیلد (۱۹۹۴) معتقد است که اثبات یکی از بیشترین موارداشتباهات مفهومی را در برنامه ی درسی ریاضیات دارد و ما واقعا نیاز داریم که آن را طبقه بندی کنیم.
به نظر می‌رسد یکی از دلایل عمده ی مشکلات دانش‌آموزان در درک و فهم و ارائه ی اثبات، این است که برخی از معلمان آنچه را که از نگاه دانش‌آموزان به عنوان دلیل و مدرک برای اثبات یک گذاره در نظر گرفته می‌شود، مورد توجه قرار نمی‌دهند و به جای اینکه به تدریج فهم آن ها را در زمینه ی اثبات و ارائه ی استدلال‌های معتبر تصحیح کنند، روش‌های اثبات و قوانین تلویحی را به آنان تحمیل می‌کنند. توجه به این نکته ضروری است که در بسیاری از مواقع این قوانین با آن چه که دانش‌آموزان را به ویژه در دوره های مقدماتی متقاعد می‌کند، نامتناسب و ناهماهنگ است. به طور کلی دانستن اینکه چه چیزی تفکر دانش‌آموزان را در مورد اثبات هدایت می‌کند، برای معلمان و برنامه ریزان درسی امری ضروری است (هارل و ساودر، ۱۹۹۸).
شورای ملی معلمان ریاضی آمریکا (NCTM، ۲۰۰۰) استدلال و اثبات را به عنوان یکی از استانداردهای فرایندی آموزش ریاضیات مدرسه‌ای معرفی می کند و بیان می‌دارد که: برنامه آموزشی از پیش دبستان تا پایان پایه دوازدهم باید همه دانش‌آموزان را قادر سازد تا:
-
- استدلال و اثبات را به عنوان جنبه‌های اساسی ریاضی بشناسند؛
-
- حدسیه‌های ریاضی بسازند و آن ها را مورد بررسی قرار دهند؛
-
- بحث‌ها و اثبات‌های ریاضی را تکمیل و ارزیابی کنند؛
- روش‌های مختلف استدلال و اثبات را انتخاب نمایند و به کار گیرند.
تحقیقات نشان می‌دهند که بعضی از دانش‌آموزان و دانش‌جویان، اهمیت اثبات را درک نمی‌کند و در برخی موارد ضرورتی برای یادگیری اثبات گزاره‌های ریاضی نمی‌بینند ( کلمنتس والرتون، ۱۹۹۶؛ هارل و ساودر، ۲۰۰۷؛ آناپا و سامکار، ۲۰۱۰).
فصل سوم
روش تحقیق
۱٫۳ مقدمه
تحقیق به عنوان یک فرایند پژوهشی، فعالیتی منظم است که در نتیجه آن پاسخ‌هایی برای سؤال های مورد نظر و مطرح شده در موضوع تحقیق به دست می‌آید و در درست ترین شکل خود دارای دو شرط زیر است:
-
- کنترل دقیق، شرطی که مانع تاثیر عوامل نامربوط و مزاحم می شود؛
- نمونه‌گیری صحیح، شرطی که یافته های پژوهش را قابل بسط و تعمیم می‌سازد.
رعایت شرط اول، اعتبار درونی و رعایت شرط دوم، اعتبار بیرونی تحقیق را موجب می‌شود. هر تحقیق خاصی ممکن است اعتبار درونی یا بیرونی داشته باشد یا نداشته باشد (خاکی، ۱۳۸۴). لذا در یک پژوهش پس از طی مراحل تئوری و مبانی نظری، تعیین روش تحقیق و تعریف و توصیف کلیه عوامل و شرایطی که از بدو شروع تا دستیابی به اطلاعات و مرحله تجزیه و تحلیل آماری وجود دارند، ضروری است. در این فصل طرح کلی پژوهش، جامعه آماری، نمونه و روش نمونه‌گیری، ابزار گردآوری داد‌ه‌ها و ویژگی آن ها از نظر روایی و پایایی، نحوه جمع آوری اطلاعات و روش تجزیه و تحلیل داده ها مورد بررسی قرار می‌گیرند.
۳-۲ روش و طرح پژوهش
