مرز مدل BCC مرز مدل CCR

•

C

•

•

D

ناکارایی مقیاس

M

B

•

P P_v P_c

•

•

•

ناکارایی در BCC (ناکارایی تکنیکی)

•

ناکارایی در CCR

A

شکل ۲-۷- ناکارایی تکنیکی و ناکارایی مقیاس ورودی محور

در این شکل بهترین عملکرد مبنا، بر اساس CCR نیم خطی است که از نقطه B می­گذرد و مرز بهترین عملکرد بر اساس BCC از نقاط A، B، M، C و D می­گذرد.

کارایی مقیاس، توسعه­ای است که یک سازمان می ­تواند از مزایای بازده به مقیاس با تغییر اندازه­اش به سوی بهینه به دست آورد. فرض بازده به مقیاس ثابت در یک سازمان بدین معنی است که اندازه سازمان در تعیین کارایی نسبی مورد توجه قرار نمی­گیرد یعنی یک سازمان کوچک می ­تواند خروجی­ها را با همان نسبت خروجی به ورودی سازمان­ های بزرگ، به خروجی تبدیل کند. فاصله بین مرزهای بازده به مقیاس ثابت و متغیر، بیانگر مفهوم ناکارایی مقیاس است. ‌بنابرین‏ کارایی فنی محاسبه شده با فرض بازده به مقیاس متغیر، بزرگ‌تر یا مساوی امتیاز به دست آمده در مدل CCR است. (مهرگان،۱۳۹۱).

در این شکل، واحد B تنها واحدی است که میزان ناکارایی مقیاس آن صفر است. به عبارت دیگر این واحد در مقیاس بهینه عمل می­ کند. واحدهای A، C و D دارای ناکارایی مقیاس هستند.

نقطه P_v نشان می‌دهد که در بهترین وضعیت تکنیکی، چگونه واحد P می ­تواند با کمترین داده بیشترین ستاده را تولید کند. نقطه P_c نشان می‌دهد که اگر تولید کننده P هم دارای کارایی تکنیکی و هم کارایی مقیاس بود، چقدر داده را مصرف می­ کند.

با فرض متغیر بودن بازدهی نسبت به مقیاس، ‌می‌توان کارایی مقیاس را برای هر واحد به دست آورد. این کار با حل مدل DEA هم با فرض بازدهی به مقیاس ثابت و هم با فرض بازدهی به مقیاس متغیر انجام می­گیرید. بدین ترتیب، مقیاس کارایی تکنیکی به دست آمده از DEA با فرض بازدهی نسبت به مقیاس ثابت، به دو جز، یکی کارایی (ناکارایی) مقیاس و دیگری کارایی (ناکارایی) تکنیکی خالص که به آن کارایی مدیریت نیز می­گویند، تقسیم می­ شود. اگر میان کارایی تکنیکی محاسبه با فرض بازدهی به مقیاس ثابت و متغیر، برای واحدی تفاوت وجود داشته باشد، بدین معنی است که واحد مورد مطالعه دارای ناکارایی مقیاس است. ناکارایی مقیاس را ‌می‌توان از تفاوت کارایی تکنیکی با فرض ثابت و متغیر به دست آورد (مؤمنی، ۱۳۹۲). در شکل ۲-۷ در شرایط بازده به مقیاس ثابت، ناکارایی فنی واحد P برابر با فاصله PP_c است، در حالی که در وضعیت بازده به مقیاس متغیر، ناکارایی برابر با PP_v است. تفاوت بین این دو، یعنی P_c P_v، نشان دهنده ناکارایی مقیاسی است (مهرگان، ۱۳۹۱).

۵-۳-۲- رتبه ­بندی واحدهای کارا

تحلیل پوششی داده ها، واحدهای تحت بررسی را به دو گروه کارا و ناکارا تقسیم می­ کند. واحدهای ناکارا با توجه به امتیاز کارایی قابل رتبه‌بندی هستند اما واحدهای کارا با توجه به اینکه دارای امتیاز کارایی برابر با یک هستند، قابل به رتبه ­بندی نیستند، به عبارت دیگر مدل‌های پایه­ای به دلیل عدم ایجاد رتبه ­بندی کامل بین واحدهای کارا امکان مقایسه واحدهای کارا را با یکدیگر به راحتی فراهم نمی­آورد. نیاز به رتبه ­بندی بین واحدهای کارا و حفظ میزان عدم کارایی واحدهای ناکارا نیازی اجتناب ناپذیر است (موتمنی، ۱۳۸۱). چارنز، کوپر و رودز روش تجربی را به منظور قدرت تفکیک پذیری تحلیل پوششی داده ها ارائه دادند که به صورت رابطه ۲-۱۲ است:

رابطه ۲-۱۲

(تعداد ورودی­ ها+تعداد خروجی­ها)۳ ≤ تعداد واحدهای مورد ارزیابی

مدل ۲-۲۸

تا کنون روش‌هایی برای رتبه ­بندی واحدهای کارا ارائه شده است، که به چند مورد از آن ها اشاره می­ شود:

۱-۵-۳-۲- روش اندرسون پترسون

تلاش­ های تحقیقاتی اندرسون پترسون^[۱۱۱] در سال ۱۹۹۳ را ‌می‌توان از نخستین رهیافت­های قابل قبول در زمینه رتبه ­بندی واحدهای کارا دانست.

در این ‌روش، خود واحد تحت بررسی که دارای امتیاز کارایی برابر با یک شده است، به عنوان ملاک ارزیابی خودش قرار ‌می‌گیرد و با حفظ محدودیت واحد تحت بررسی از مدل‌های اولیه پایه­ای تحلیل پوششی داده ها (واحد Kام) اجازه می‌دهد که کارایی واحد از یک بیشتر شود و مدل به صورت مدل ۲-۲۸ در می ­آید:

Max Z₀=

رابطه ۲-۳۹

s.t

=۱

– ≤۰

j=1, 2, 3, …n j≠K

𝑢ᵣ, 𝑣ᵢ≥ԑ

و برای مدل پوششی داریم:

Min Y₀=

مدل ۲-۲۹

s.t

j≠K

=۰

j≠K

آزاد در علامت ۰≤

۲-۵-۳-۲ روش کارایی متقاطع

یکی دیگر از روش‌های رتبه ­بندی واحدهای کارا، استفاده از مدل کارایی متقاطع^[۱۱۲] است که توان بالایی در تفکیک واحدهای کارا دارد (مهرگان، ۱۳۹۱). کارایی متقاطع به معنای محاسبه کارایی یک واحد با بهره گرفتن از وزن‌های واحد دیگر است. به عبارت، کارایی واحد k، E_kk، را با بهره گرفتن از مدل‌های پایه­ای محاسبه کرده که منجر به ارائه وزن‌هایی برای مقادیر ورودی و خروجی می­گردد، چنانچه کارایی واحد j با بهره گرفتن از وزن‌های به دست آمده برای واحد k محاسبه شود، در اینصورت کارایی متقاطع واحد j، E_kj، محاسبه می­ شود (دیل و گرین^[۱۱۳]، ۱۹۹۴).

برای استفاده از این‌رو ابتدا با بهره گرفتن از مدل‌های پایه­ای تحلیل پوششی داده ها، کارایی هر یک از واحدهای تحت بررسی را محاسبه کرده و سپس واحدهایی که کارایی آن ها برابر با یک شده است (واحدهای کارا) انتخاب می­شوند، کارایی متقاطع هر یک از این واحدها با بهره گرفتن از سایر واحدهای کارای دیگر محاسبه می­ شود، یعنی کارایی هر یک از واحدهای کارا به ازای وزن‌های به دست آمده برای واحدهای کارای دیگر محاسبه می­ شود و بعد ماتریس کارایی متقاطع تشکیل داده می­ شود. این ماتریس، یک ماتریس مربعی است که تعداد سطر و ستون آن برابر با تعداد واحدهایی است که با بهره گرفتن از مدل‌های پایه­ای کارایی آن ها برابر با یک شده است و درایه روی سطر kام و ستون jام این ماتریس بیانگر کارایی محاسبه شده برای واحد jام با بهره گرفتن از وزن­ها به دست آمده برای واحد kام است. با فرض اینکه کارایی واحدهای A، B، C و D در مجموعه ­ای از n واحد تحت بررسی برابر با یک شده است، ماتریس متقاطع کارایی به صورت جدول ۲-۷ است:

جدول ۲-۷- فرم کلی ماتریس متقاطع کارایی

واحد
A
B
C
D
A

E_AA

E_AB

E_AC

E_AD
B

E_BA

E_BB

E_BC

E_BD
C

E_CA

E_CB

E_CC

E_CB
D

E_DA

E_DB

E_CD

E_DB

و در نهایت برای به دست آوردن امتیاز کارایی واحدها، میانگین ستون­های ماتریس کارایی متقاطع با حذف عناصر روی قطر اصلی (یعنی E_kk) که همگی برابر با یک هستند محاسبه می­ شود و رتبه ­بندی انجام ‌می‌گیرد، بدین صورت که واحدی که دارای میانگین بیشتری باشد، رتبه بهتری را به خود اختصاص می‌دهد.

رابطه ۲-۱۳

۳-۵-۳-۲- تحلیل پوششی داده ها وزن‌های مشترک